線形代数例

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2 r \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

Multiplying any matrix by an identity matrix is the matrix itself.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

ステップ 1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} r \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & r \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & r \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + r \cdot 0 + 2 r \cdot 0 & 0 \cdot 0 + r \cdot 1 + 2 r \cdot 0 & 0 \cdot 0 + r \cdot 0 + 2 r \cdot 1 \\ - 1 \cdot 1 - 0 - 0 & - 0 - 1 \cdot 1 - 0 & - 0 - 0 - 1 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2 r \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ をかけます。

$0 + r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.3

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + r (r \cdot - 1 - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 1$ を $r$ の左に移動させます。

$0 + r (- 1 \cdot r - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.2

$- 1 r$ を $- r$ に書き換えます。

$0 + r (- r - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + r (- r - - 1) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.4

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r (r \cdot - 1 - (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 1$ を $r$ の左に移動させます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- 1 \cdot r - (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.4.2.2

$- 1 r$ を $- r$ に書き換えます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r - (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.4.2.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r - - 1)$

ステップ 2.4.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$0$ と $r (- r + 1)$ をたし算します。

$r (- r + 1) - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

分配則を当てはめます。

$r (- r) + r \cdot 1 - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- r \cdot r + r \cdot 1 - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2.3

$r$ に $1$ をかけます。

$- r \cdot r + r - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2.4

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

$r$ を移動させます。

$- (r \cdot r) + r - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2.4.2

$r$ に $r$ をかけます。

$- r^{2} + r - 2 r (- r + 1)$

ステップ 2.5.2.5

分配則を当てはめます。

$- r^{2} + r - 2 r (- r) - 2 r \cdot 1$

ステップ 2.5.2.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r \cdot r - 2 r \cdot 1$

ステップ 2.5.2.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r \cdot r - 2 r$

ステップ 2.5.2.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.8.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.8.1.1

$r$ を移動させます。

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 (r \cdot r) - 2 r$

ステップ 2.5.2.8.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r^{2} - 2 r$

ステップ 2.5.2.8.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- r^{2} + r + 2 r^{2} - 2 r$

ステップ 2.5.3

$- r^{2}$ と $2 r^{2}$ をたし算します。

$r^{2} + r - 2 r$

ステップ 2.5.4

$r$ から $2 r$ を引きます。

$r^{2} - r$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{r}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{0}{r} & \frac{0}{r} \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & 0 + \frac{1}{r} & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 5.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ \frac{0}{r} & \frac{r}{r} & \frac{2 r}{r} & \frac{0}{r} & \frac{1}{r} & \frac{0}{r} \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 1 + \frac{1}{r}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 1 + \frac{1}{r}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 & - 1 + \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 2 & \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 & 0 - (- 1 + \frac{1}{r}) \frac{1}{r} & 1 - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{r - 1}{r^{2}} & 1 \end{array}]$

ステップ 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{1 - \frac{1}{r}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{1 - \frac{1}{r}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ \frac{0}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{0}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{1 - \frac{1}{r}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{\frac{1}{r}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{\frac{r - 1}{r^{2}}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{1}{1 - \frac{1}{r}} \end{array}]$

ステップ 5.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} - 2 \frac{1}{r} & 0 - 2 \frac{r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 1 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r - 1} & 0 - \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r} & 0 - \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r (r - 1)} & - \frac{1}{r^{2}} & - \frac{1}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r (r - 1)} - \frac{1}{r} (- \frac{2}{r - 1}) & - \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r} (- \frac{1}{r}) & - \frac{1}{r - 1} - \frac{1}{r} (- \frac{2 r}{r - 1}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 5.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{r} + \frac{1}{r (r - 1)} & 0 & \frac{1}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

ステップ 6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{r} + \frac{1}{r (r - 1)} & 0 & \frac{1}{r - 1} \\ - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

線形代数 例

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